Выведение тригонометрических функций через рациональные

[stzozo]

Если определить функции через бесконечные произведения

A(x) = x Prod(1 - x^2 / n^2)

B(x) = Prod(1 - x^2 / (n-1/2)^2)

C(x) = A(x) / B(x)

То легко доказать тождества

1/A(x) = 1/x + Sum(2 x (-1)^n / (x^2 - n^2))

1/B(x) = U Sum((-1)^n / ((x+1/2)^2 - n^2) )

C(x) = -U^2 Sum(2 x / (x^2 - (n-1/2)^2) )

1/C(x) = 1/x + Sum(2x / (x^2 - n^2))

При этом рождается константа

U = 1/2 Prod(1 - 1 / (4 n^2) )

Тогда эти функции обладают свойствами

dA(x)/dx = B(x)

dB(x)/dx = - A(x) / U^2

B(0) = 1

B(-x) = B(x)

Что позволяет отождествить

B(x) = Cos(x/U)

A(x) = U Sin(x/U)

U = 1 / \pi~

То же самое можно проделать и для эллиптических функций, но сложнее.

Comments

[the-aaa13.livejournal.com]

Педагогичекая ценность указанных фактов заметно снижается изза того, что указанные произведения нигде не сходятся.

[stzozo.livejournal.com]

Все произведения абсолютно сходятся.

[evilduckk.livejournal.com]

Омг.